Groupe de Symétrie des surfaces planes

Ceiling of Egyptian tomb; ignoring colors this is p4, otherwise p2.
(source: wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Wallpaper_group#Group_p4)




La raison en est que le vortex présente deux couleurs, grises et jaunes sur les cotés adjacent d'un carré qui le contiendrait. La fleur présente bien une symétrie P4 mais le vortex n'en a qu'une de type P2 . Si les deux couleurs étaient les mêmes, on pourrait donc prendre comme plus petite unité de pavage ("Lattice") 1/4 de fleur et 1/4 de vortex et obtenir une symétrie p4. Mais tel n'est pas le cas, il faut donc prendre comme plus petite unité de pavage une fleur et un vortex complet avec lequel nous trouvons une simple symétrie de type P2.

Cet exemple est intéressant car il montre la possibilité d'avoir des symétries soujacentes, véritables symétries qui sont perturbées par l'adjonction d'un autre élément (ici la couleur). L'effet visuel obtenu est particulièrement riche. On pourrait trouver ici une méthode de composition intéressante qui serait de partir d'une symétrie élevée et d'y ajouter des éléments différents pour la perturber (on peut sans doute imaginer cette perturbation graduelle, permettant de supposer plusieurs niveaux de symétries) jusque parvenir - à l'extrême - à n'en avoir réellement aucune sur l'ensemble de la composition.

Il me semble regrettable que de nos jours, et à part l'exception étincellante de M. C. Escher, la plupart des artistes ne soit pas d'avantage intéressé par les possibilités offertes par les mathématiques et la physique en temps que champ d'inspiration et d'expérimentation. Il fut des temps où l'art était étroitement lié à la science, on pense bien entendu à la Renaissance mais le réalisme ou le naturalisme porte en leur essence une nécessaire compréhension de certains éléments mathématiques et physiques ce qui n'est pas nécessairement le cas pour l'abstrait. Pourtant, comme le dit Escher: "The mathematicians have opened the gate leading to an extensive domain."(1) Malheureusement, lorsque certains artistes cherchent à intégrer des éléments mathématiques dans leur création, il s'agit de pseudo-science, comme celle concernant le nombre d'or et que l'on retrouve dans des créateurs aussi sérieux que Le Corbusier(2). Du même avis qu'Escher, je suis convaincu que la science recèle des possibilité d'inspirations artistiques absolument laissé pour compte par nos artistes contemporains.
Illustration: Escher, Cercle Limit III.

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In 1704, Sebastien Truchet considered all possible patterns formed by tilings of right triangles oriented at the four corners of a square.



Truchet's tiles produce beautiful patterns when laid out on a grid, as illustrated by the 20x20 arrangement of random tiles illustrated [below].













A modification of Truchet's tiles leads to a single tile consisting of two circular arcs of radius equal to half the tile edge length centered at opposed corners (Pickover 1989).

There are two possible orientations of this tile, and tiling the plane using tiles with random orientations gives visually interesting patterns. (3)














Sources:
(1) http://en.wikipedia.org/wiki/M._C._Escher
(2) http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_d%27or
(3) http://mathworld.wolfram.com/TruchetTiling.html